我死守不换门输了一万次：蒙提霍尔实测胜率差出一倍
我遇到的现场
事情起于一次团队内部的小赌局。周末线上团建，有人搬出了蒙提霍尔问题：三扇门，一扇后面是车，两扇后面是羊，你选一扇，主持人开一扇有羊的门，问你要不要换。我说不换，理由听起来很硬——主持人开门之后只剩两扇门，概率各一半，换不换无所谓。同组的算法工程师当场笑了，说换门胜率是三分之二。我们吵了半小时，谁也没说服谁。
吵到最后他说了一句让我印象深刻的话：“你别跟我讲直觉，你跑一万次模拟，数据会替你说话。”我当时其实是有点不服气的，因为按我的推理，两扇门对称、信息对等，凭什么一个 66% 一个 33%？但我也清楚，这种纯概率的争论靠嘴是吵不出结果的，必须写代码验证。而且我不敢只跑几百次就下结论——样本小了，波动完全可能把结论带偏，到时候反而给对方递刀。
还原实验怎么设
回家后我写了一段 Python 模拟，逻辑上把一轮游戏完整拆开：随机放车、随机选门、主持人只开有羊的门、最后判定胜负。为了让结果可复现，我固定了随机种子 random.seed(42)，每组设置跑 10000 轮。代码不长，核心是这一个函数：
import random
random.seed(42)
N = 10000 # rounds per setup
def play(d, switch):
# one full round: car placement, player pick, host reveal, outcome
car = random.randrange(d)
pick = random.randrange(d)
if not switch:
return pick == car
if pick == car:
return False # host reveals d-2 goats, switching loses
others = [x for x in range(d) if x != pick]
goats = [x for x in others if x != car]
opened = random.sample(goats, d - 2) # host only opens goat doors
remain = [x for x in others if x not in opened]
return car in remain这里有一个实现上的小设计：死守和换门我没有分别去数赢的次数，而是用 st = N - sw 直接取补集。因为在一轮游戏里，换门赢和死守赢是严格互斥且互补的事件，赢了换门就等于输了死守，这样写既省一半计算，也从根上杜绝了两个口径统计不一致的可能。另外我把门的数量做成参数 d，除了经典的 3 门，还测了 4 门和 10 门——我想看看门越多，换门的优势到底是被放大还是被稀释。
跑出来的数据
脚本一次跑完三种门数的对比，输出是这样的：
3 门场景：死守赢了 3400 次，胜率 34.0%；换门赢了 6600 次，胜率 66.0%，和理论值 66.7% 只差 0.7 个百分点。4 门场景差距进一步拉开：死守 24.9% 对换门 75.1%，理论值 75.0% 几乎严丝合缝。最扎眼的是 10 门：死守只剩 1019 次、10.2%，换门 8981 次、89.8%，理论值 90.0%。也就是说门数从 3 涨到 10，换门对死守的优势从大约 2 倍一路放大到接近 9 倍。
输出末尾还有两行连击数据：3 门下，永远换门的最长连胜是 25 轮，永远死守的最长连胜只有 8 轮。25 比 8，这个差距比胜率本身更直观——如果真拿一万块钱连续下注，死守派连赢 8 把之后大概率已经开始怀疑人生了。
我原来想错在哪
翻车点找到了：我犯的错误是把“主持人开门”当成了一条中性信息。直觉上，三扇门剩两扇，各 1/2，这是把开局选择和主持人行为混为一谈了。事实是，我的第一次选择只有 1/3 概率命中车，剩下 2/3 的概率都压在另外那组门上。主持人开门这个动作不是随机的——他明确知道车在哪，并且只开羊门，这个约束把那 2/3 的概率全部浓缩到了最后一扇没开的门上。
用数据反推就很清楚：死守的胜率永远等于我第一次蒙对的概率，3 门就是 1/3，10 门就是 1/10，模拟结果 34.0% 和 10.2% 都在这个锚点附近小幅波动。而换门的胜率恒等于 (d-1)/d，也就是把“第一次没蒙对”的全部可能性兑现。10 门时死守 10.2% 对换门 89.8%，差的不是运气，是我从一开始就把 90% 的胜率拱手让了出去。这次实验也有局限：10000 轮在 3 门场景下 34.0% 与理论 1/3 仍有偏差，种子固定后换个 seed 结果会小幅漂移；而且主持人行为是照规则写的“标准主持人”，如果现实里主持人会耍手段（比如只在你猜对时才提议换门），整套结论就不成立。
下次怎么绕开
这次实验给我留下了一条可执行的习惯：凡是两个方案谁也说服不了谁，别在会议室里辩论，花十分钟写个模拟器，把参数固定、轮次跑到一万以上，让补集统计替双方闭嘴。直觉在条件概率面前几乎从不靠谱，尤其是那种“看起来对称”的场景——对称的只是门的数量，不是信息。
还有一个反直觉的收获值得单独记下：门越多，死守的代价越惨烈。3 门时错信直觉只亏一倍，10 门时直接亏 9 倍。所以下次再遇到“多个选项二选一”的类似局面，先别急着五五开，问一句：有没有一个“知道内情的主持人”在替我筛掉部分选项？如果有，那个被筛剩的选项，含金量远比我以为的高。你要是不信，把上面的代码跑一遍，换个种子也行——数字不会陪任何人演。
